重心とは?

重心とは、「物体の各部にはたらく重力を1つにまとめたとき、その力がはたらく点」です。
GISの分析でも”重心”という概念が用いられます。

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面の重心

図① 三角形の重心と多角形の重心
図① 三角形の重心と多角形の重心

ポリゴンを扱う場合、面の厚さや重さが一様であれば、円の重心は中心と同じです。 また、面の厚さや重さが一様である三角形の重心は、頂点とその対辺の中点を結んだ線が交わる点です(図①)。
三角形の重心と多角形の重心と多角形の場合は、どうでしょうか?例えば、五角形の場合は、対角線で複数の三角形に分割して、三角形の重心点を割り出します。次に、各々の重心を結んで出来た三角形の重心点が五角形の重心となります。基本的に多角形は同じようにして重心点を割り出すことが出来ます。

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点群の重心

図② 複数のポイントの重心を求めたい (クリックで拡大)
図② 複数のポイントの重心を求めたい (クリックで拡大)

ポリゴンではなく図②のような、地図上に散在する、複数のポイントの重心は求められるのでしょうか? それぞれのポイントは位置座標を持っているので、以下のような概念で割り出すことができます。

図③ (クリックで拡大)
図③ (クリックで拡大)

例.点群の中心を求める

Step-1.図③のように任意の点を設定し、その座標を原点(0,0)とします。

図④ (クリックで拡大)
図④ (クリックで拡大)

Step-2.原点(0,0)を通る東西の線をX軸、南北の線をY軸とします。 散在する点の位置座標を(Xi、Yi)とします(図④)。

図⑤ (クリックで拡大)
図⑤ (クリックで拡大)

Step-3.各点のXとYの値を合計し、その点の個数で除した値が重心になります(図⑤)。
この5個の点の場合、点群の重心(Xg、Yg)は以下の式のようにして求められます。
Xg=(X1+X2+X3+X4+X5)/5  Yg=(Y1+Y2+Y3+Y4+Y5)/5

上記のような、仕組みで点群の重心も割り出すことができます。なお、ここでご紹介した方法は、各点の“重み”が同じであることが前提になります。各点に“重み” がある場合については、上記X軸、Y軸にZ軸を足すことで計算ができます。

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